SLk-tilings and Laurent polynomials

Un SLk-pavage est une fonction, sur l'ensemble Z x Z, a valeur dans un certain corps de caracteristique zero. On exige aussi que chaque mineur connexe, de format k x k, soit egal a l'unite multiplicative du corps. Ces pavages sont intimement lies a la resolution d'une recurrence dite "octaedrale", dont les solutions apparaissent naturellement comme des systemes dynamiques dans le contexte de la mecanique statistique, de meme que dans la theorie des algebres amasses. Plus precisement, via l'identite de Desnanot-Jacobi, certains SLk-pavage (ceux satisfaisant une condition supplementaire de positivite) sont equivalents a une solution de la recurrence d'octaedrale dans la grille a trois dimensions discrete. Les entrees de cette solution font intervenir toutes les entrees, et tous les mineurs connexes dudit pavage. D'autres SLk-pavages importants sont specifies par des conditions de bord, souvent prenant une forme d'escalier irregulier. Dans ce cas, il a ete conjecture que les entrees et les mineurs sont des polynomes de Laurent a coefficients non negatifs. Plusieurs preuves de cas particuliers de cette conjecture ont ete proposees dans la litterature. Le but principal de cette these est de presenter des propositions couvrant de nouveaux cas, et de developper des modeles combinatoires permettant d'elaborer une preuve complete de cette conjecture. Un de nos resultats principaux est la preuve de la conjecture pour le cas k = 2. Cette preuve est basee sur la combinatoire des chemins discrets pour decrire les entrees du pavage. Ce modele fournit des formules en terme de polynomes de Laurent a coefficient positif dont les variables sont les entrees apparaissant sur le bord specifie. La structure combinatoire du modele introduit est basee sur la notion d'intersection de chemins dans un graphe, et d'une extension du lemme de Lindstrom-Gessel-Viennot qui est coherente avec cette nouvelle notion d'intersection de chemins. Au cours de ce travail, nous avons ete amenes a introduire des generalisations naturelles des lemmes de Lindstrom-Gessel-Viennot et de Stembridge, permettant de compter des ensembles de n-uples de chemins sans intersections. En particulier, ces generalisations permettent d'enumerer des familles de tableaux de Young semi-standard de forme gauche (skew tableaux), ainsi que de tableaux decales (shifted tableaux). Notre contribution dans ce contexte concerne non seulement l'obtention de nouvelles preuves de resultats connus dans l'enumeration des tableaux, mais aussi des resultats nouveaux fournissant des formules enumeratives pour de plus larges familles de tableaux. D'autre part, nous avons developpe une toute nouvelle approche permettant d'etablir des identites de determinants, par l'enumeration de chemins. Celle-ci fournit des preuves plus courtes et plus elementaires d'identites classiques, ainsi que de nouveaux resultats algebriques generaux relies aux determinants. Nous concluons cette partie de notre travail avec un theoreme qui contient une vaste famille d'identites determinantales originales, et qui permet d'exprimer le determinant d'une matrice de mineurs d'une matrice generique. Nous utilisons ensuite ces identites determinantales pour obtenir une preuve recursive de la non-negativite de Laurent pour chaque entree (et certains mineurs) de SLk-pavages determines par des conditions de bords generales. Ceci produit un nouvel algorithme efficace de calcul d'entrees et de mineurs, qui evite en particulier la division par des polynomes autres que des monomes. Plusieurs des resultats de notre travail relevent de contextes comme la theorie des algebres amassees, ou les algebres de Lie, dans lesquels les calculs necessitent l'utilisation de techniques algebriques complexes. Nous reussissons cependant a les aborder avec des outils purement combinatoires, beaucoup plus simples. En particulier, nos methodes combinatoires se sont averees beaucoup plus efficaces que celles utilisees auparavant, pour demontrer la non-negativite de Laurent dans plusieurs cas particuliers d'algebres amassees. ______________________________________________________________________________