Etude des schémas de discrétisation temporelle "explicite horizontal, implicite vertical" dans une dynamique non-hydrostatique pleinement compressible en coordonnée masse

La resolution numerique du systeme d'equations pleinement compressibles en vue de son utilisation pour des applications en Prevision Numerique du Temps (PNT) souleve de nombreuses questions. L'une d'elles porte sur le choix des schemas de discretisation temporelle a mettre en oeuvre afin de resoudre ce systeme de la maniere la plus efficace possible, pour permettre la continuelle amelioration qualitative des previsions. Jusqu'alors, les schemas de discretisation temporelle bases sur des techniques semi-implicites (SI) etaient les plus couramment employes PNT, compte tenu de leur robustesse et de leur grande propriete de stabilite. Mais avec l'emergence des machines massivement paralleles a memoire distribuee, l'efficacite de ces techniques est actuellement remise en question, car leur confortable plage de stabilite est obtenue au prix de l'inversion d'un probleme elliptique tri-dimensionnel tres gourmand en communications. Ce travail these vise a explorer d'autres methodes de discretisation temporelle, en remplacemant des methodes SI, s'appuyant sur des approches de type Horizontalement Explicite et Verticalement Implicite (HEVI). D'une part, ces approches s'affranchissent de la contrainte numerique imposee sur le pas de temps par la propagation verticales des ondes rapides supportees par le systeme, grâce au traitement implicite des processus verticaux. D'autre part, elles exploitent le paradigme de programmation voulant que chaque colonne verticale du modele numerique soit traitee par un unique processeur. Ainsi, le traitement implicite de cette direction n'engendre aucunes communications entre les processeurs. Cependant, bien que ces ap- proches HEVI apparaissent comme une solution attractive, rien ne garanti que leurs efficacites puissent etre aussi competitives que celles des sche- mas SI. Pour ce faire, ces schemas HEVI doivent permettre l'utilisation de pas de temps raisonnables pour une application en PNT. L'objectif de ce travail de these est d'elaborer un schema de discretisation temporelle HEVI le plus efficace possible pour une utilisation en PNT, c'est a dire, un schema qui autorise le plus long pas de temps possible. Dans cette optique, deux voies ont ete explorees : la premiere, issue des methodes a pas de temps fractionne, a permis de revisiter et d'ameliorer un schema de discretisation temporelle deja propose mais dont l'examen n'a jamais ete approfondi dans la litterature ; il s'agit du schema d'avance temporelle saute-moutons trapezo\"idal. Il a ete mis en evidence que l'ajout d'un simple filtre temporel d'usage commun en PNT, ameliore grandement la stabilite de ce schema, lui permettant ainsi a moindre cout de rivaliser en terme de stabilite avec le schema Runge-Kutta explicite d'ordre 3. La seconde voie, plus recente, c'est averee la plus prometteuse. Elle repose sur l'utilisation des methodes Runge-Kutta Implicite-Explicite (RK-IMEX) HEVI. Au cours l'etude, il a ete tout d'abord mis en evidence certains problemes de stabi- lite des schemas initialement suggeres dans la litterature en presence des processus d'advection. Puis, une nouvelle classe de schema RK-IMEX HEVI s'appuyant sur un traitement temporel specifique des termes d'ajustement horizontaux a ete propose. Ce nouveau traitement remedie non seule- ment aux problemes de stabilite ci-avant identifies, sans surcout numerique, mais permet egalement l'utilisation de plus long pas de temps que ceux pouvant etre envisages via les methodes HEVI a pas de temps fractionne. Outre le traitement des processus dynamiques affectant la propagation hori - zontal des ondes rapides, une etude annexe a mis en lumiere l'apport benefique d'un traitement temporel implicite des termes non-lineaires orogra- phiques resultants de l'utilisation d'une coordonnee verticale epousant le relief sur la stabilite du schema HEVI. Enfin, tous les resultats theoriques obtenus ont ete confronte a des experimentations numeriques a l'aide d'un modele plan vertical en equations pleinement compressibles en coordonnee masse.