Paysage systolique des surfaces hyperboliques compactes de petit genre

Cette these est consacree a l'etude d'invariants metriques de type systole dans le cas des surfaces hyperboliques compactes de petit genre. Dans la premiere partie, nous determinons des inegalites optimales pour la systole des surfaces hyperboliques compactes de caracteristique. -1. Dans un premier temps nous etudions la geometrie de ces surfaces, nous decrivons ensuite l'action des groupes modulaires sur les espaces de Teichmuller. Nous decomposons alors des domaines fondamentaux de ces actions en cellules adaptees a la systole, c'est-a-dire telles que tous les points d'une cellule ont memes geodesiques pour systoles. Enfin, nous donnons tous les points critiques des fonctions systole et en particulier leurs maxima. Nous nous interessons aussi a d'autres invariants comme la 2-systole, la 3-systoles. . . La deuxieme partie de la these est consacree au calcul de la constante de Bers en genre 2. Afin de determiner cette constante, nous introduisons un nouvel outil le graphe de contiguite rendant compte de la repartition des points de Weierstrass sur une surgace de Riemann hyperelliptique. Lorsque la 3-systole est "grande", ce graphe verifie une certaine configuration qui permet de majorer la 3-systole d'une famille particuliere de geodesiques. La determination des maxima de cette nouvelle fonction systole fait apparaitre trois surfaces maximales pour la 3-systole, dont une nouvelle. Nous montrons que la constante de Bers est realisee par le plus grand de ces trois maxima.