Dimensions fractales de réseaux vectoriels : méthodes d'estimation et robustesse des résultats

L’analyse fractale des reseaux hydrographiques a donne lieu a de nombreux travaux (Tarboton et al., 1988 ; Rodriguez-Iturbe et Rinaldo, 1997 ; Hauchard et al., 1999 ; Forriez et al., 2010), alors meme que les valeurs du principal indicateur fractal – la dimension fractale – n’ont que rarement alimente des comparaisons selon leur mode d’obtention ou des discussions sur l’incertitude qui les caracterise. Les reseaux hydrographiques sont un cas particulier, relativement simple, de la grande famille des reseaux de transport qui de Hagget et Chorley (1969) a Strano et al. (2012) ont suscite reflexion theorique et applications en geographie prospective et amenagement (Dupuy, 1991 ; Frankhauser et Genre-Grandpierre, 1998 ; Porta et al., 2006). Nous nous interessons ici aux reseaux vectoriels, typiquement des reseaux construits comme assemblage deterministe ou aleatoire de segments unitaires (fig. 2) ou des reseaux extraits a partir de modeles numeriques de terrain de type raster avec une taille de cellule fixee (fig. 4, fig. 7), au-dessous de laquelle il n’existe plus de donnees informatives. Nous nous focalisons sur les methodes d’estimation de dimensions fractales, qui soient, autant que faire se peut, dans le droit fil des methodes mathematiques de calcul d’une dimension asymptotique et privilegions une analyse de type monofractal.Partant, d’une part, de la distinction entre fractale mathematique infinie et fractale de la nature, d’autre part, du rappel des differentes dimensions theoriques (asymptotiques) auxquelles se rattachent les dimensions empiriques que nous utilisons, nous mettons ici l’accent sur trois resultats methodologiques. Le premier, l’apport des reseaux simules – dont le mode de construction est connu –, permet d’apprecier la pertinence des divers estimateurs selon les caracteristiques des reseaux (leur ramification, leur degre de hierarchisation, par exemple) et, au total, autorise une mise en garde vis-a-vis de certaines procedures tres repandues – lorsqu’elles sont appliquees a de petits reseaux notamment. Le second concerne la determination necessaire a nos yeux d’un domaine de fractalite enserre dans des limites obtenues selon une procedure non subjective, et entre lesquelles est calculee la valeur de l’estimateur fractal (fig. 8 et fig. 11) ; cette procedure exigeante peut conduire a une reduction consequente de l’intervalle de validite mais est utile pour des comparaisons. Enfin, l’importance de la notion d’instabilite des resultats selon le niveau hierarchique du reseau (fig. 13, fig. 14, tab. 1), distincte de l’incertitude qui, pour les reseaux aleatoires, a pu etre evaluee pour chaque niveau hierarchique en repetant les mesures un grand nombre de fois (50 et 100 realisations – reseau de Scheidegger et reseau binaire bruite, respectivement ; tab. 1) est mise en valeur.Les trois estimateurs de dimension fractale que nous comparons sont, l’un, un estimateur traditionnel en hydrographie (DHS) car fonde sur la topologie du reseau, plus particulierement sur les rapports de Horton-Strahler (Horton, 1945 ; Strahler, 1957) ; les autres, la dimension obtenue par comptage de boites (DB) et la dimension de correlation (DC). Le cas d’un reseau de talwegs extrait a partir de MNT semble montrer que les resultats d’estimation les plus stables sont obtenus a partir de cette derniere methode (tab. 3).