Analiza wybranych liniowych obwodów elektrycznych z elementami niecałkowitego rzędu (Analysis of linear electrical circuits with the use of fractional-order elements)

rozniczkowo-calkowy niecalkowitego rzedu (Fractional Calculus), rozwijany intensywnie od strony aparatu matematycznego, znalazl jak dotąd nieliczne zastosowania w elektrotechnice, a glownie w teorii obwodow elektrycznych. Klasyczne podejście do analizy ukladow elektrycznych i ich modelowania zwykle pomija efekty wynikające z nieidealności elementow (stratnośc, nieliniowośc, niejednorodnośc). Ten fakt jak i tez pojawienie sie nowych elementow i urządzen elektrotechnicznych: superkondensatorow, rezystorow z pamiecią, nazywanych „memrystorami”, czy cewek indukcyjnych z efektem wypierania prądu (ang. Inductance with a skin effect), staly sie przyczyną wprowadzenia elementow niecalkowitego rzedu jako pewnego uogolnienia elementow klasycznych. Mimo ze narzedzia stosowane w analizie są bardziej zaangazowane matematycznie i bardziej skomplikowane, niz w realizacji klasycznej, to jednak zastepowanie tradycyjnych modeli obwodowych przez modele wywodzące sie z rachunku rozniczkowego niecalkowitego rzedu prowadzi do wierniejszego opisu rzeczywistych elementow. Zastosowanie rachunku niecalkowitego rzedu otworzylo nowy obszar zastosowan dający mozliwości przyblizenia elementow rzeczywistych w stopniu, ktory nie byl mozliwy do osiągniecia w przypadku podejścia klasycznego. W pracy przedstawiono analize wybranych liniowych obwodow elektrycznych z elementami niecalkowitego rzedu. W wyniku przeprowadzonych studiow literaturowych dokonano wyboru pojec niezbednych do analizy wybranych ukladow elektrycznych. Zamieszczono definicje podstawowych pochodnych niecalkowitego rzedu, funkcji specjalnych (gammy Eulera Γ(x), Mittaga-Lefflera) oraz hipergeometrycznych (Lommela i Whittakera) stosowanych do wyznaczania analitycznych postaci pochodnych niecalkowitego rzedu. Omowiono metody opisu ciąglych ukladow dynamicznych niecalkowitego rzedu oraz aproksymacji operatora rozniczkowania niecalkowitego rzedu, tj. metode CFE (Continued Fraction Expansion) i metode Oustaloupa. Metody te posluzyly do sformulowania transformat Laplace’a w postaci wielomianow rzedow calkowitych wykorzystanych miedzy innymi do analizy stanow nieustalonych. Wyznaczono analityczne postacie pochodnych Riemanna-Liouville'a i Caputo typowych sygnalow wymuszających wystepujących w obwodach i ukladach elektrycznych. Wprowadzono koncepcje elementu uogolnionego niecalkowitego rzedu oraz podano warunki zapewnienia jego spojności wymiarowej. Glowny obszar badan dotyczyl opisu rozwazanych obwodow rownaniami rozniczkowymi niecalkowitego rzedu zwyczajnymi (obwody z elementami RLαCα, w tym czworniki i filtry) oraz cząstkowymi (linia dluga). Wyznaczono analityczne postaci rozwiązan takich rownan oraz przeprowadzono eksperymenty numeryczny potwierdzające prawidlowośc uzyskanych wynikow. (Fractional Calculus whose mathematical apparatus has been extensively developed has found few applications in electrical engineering, mainly in the theory of electrical circuits. Classical approach to the analysis of electrical systems and their modelling does not usually deal with the problems resulting from the imperfectness of components (losses, nonlinearity, heterogeneity). This fact as well as the emergence of new electrotechnical elements and devices including supercapacitors, memory resistors, called "memristors", or inductance coils with a skin effect, has resulted in the use of fractional-order elements as generalizations of classical elements. Although the Fractional Calculus tools are more advanced mathematically and more complex than those of classical method, the replacement of traditional circuit models with those derived from Fractional Calculus leads to more accurate description of the real elements. The use of Fractional Calculus has opened new areas of application that make it possible to approximate real elements to the degree unattainable in classical approach. The monograph presents the analysis of the selected linear circuits with the use of fractional-order elements. Based on the literature the concepts necessary for the analysis of the discussed electrical circuits were selected.Definitions of basic fractional derivatives, special (gamma Euler Γ(x), Mittaga-Leffler) and hypergeometric functions (Lommel and Whittaker) used to determine analytical forms of fractional derivatives were presented. The methods describing continuous fractional-order dynamical systems and the approximation of fractional differential operator, that is, CFE (Continued Fraction Expansion) as well as Oustaloup approximation method were discussed. These methods were applied to obtain Laplace transforms in the form of integer-valued polynomials used, among others, for the analysis of transient states. The analytical forms of the Riemann-Liouville and Caputo derivatives of typical input signals occurring in electrical circuits and systems were determined. The concept of a generalized fractional-order element was introduced and the conditions for its dimensional coherence were presented. The main research area was focused on the description of the considered circuits with the use of ordinary fractional differential equations (circuits with RLαCα, elements, including two-port networks and filters) and partial fractional differential equations (long line).The analytical solutions of the above equations were determined and the results were confirmed by numerical experiments.)