Stabilité de Lyapunov de systèmes couplés impliquant une équation de transport

Les travaux developpes dans cette these concernent la theorie du controle ont pour objectif de proposer une nouvelle approche pour l’etude de stabilite d’un systeme de dimension infinie ou une equation differentielle ordinaire est couplee a une equation de transport par les termes de bord du domaine spatial. L’idee est d’exploiter des travaux recents effectues dans le cadre des systemes a retard pour quantifier la stabilite d’un systeme couplant une equation aux derivees partielles a des equations differentielles. Ces travaux s’appuient sur les polynomes de Legendre et l’inegalite de Bessel, pour construire une approche de la stabilite par la methode de Lyapunov et l’utilisation d’inegalites matricielles lineaires. Les polynomes de Legendre servent a la construction d’une fonctionnelle de Lyapunov basee en partie sur une approximation polynomiale de l’etat de l’equation de transport (qui est de dimension infinie). Le manuscrit s’articule en plusieurs etapes. Apres la presentation d’un simple modele couplant des equations differentielles ordinaires avec une equation de transport, l’approximation de l’etat de dimension infinie utilisant une projection sur les polynomes de Legendre est decrite. La methode de Lyapunov est ensuite developpee et son fonctionnement necessite la production de conditions de stabilite sous forme d’inegalites matricielles lineaires. Ces conditions permettent des tests numeriques effectues sur des exemples academiques. Des cas plus difficiles sont abordes au fil du document, allant d’une unique equation de transport a plusieurs equations aux vitesses differentes, la prise en compte d’un terme de couplage entre celles ci via un potentiel ou via le bord du domaine. Enfin, un tel couplage avec une equation de transport pouvant etre une description alternative d’un systeme a retard, une etude de la stabilite de ce dernier est developpee en utilisant des modeles differents du systeme couple, dans le but de reduire la complexite des conditions de stabilite donnees sous forme des inegalites matricielles.