Faisceau automorphe unipotent pour G₂, nombres de Franel, et stratification de Thom-Boardman

Dans cette these, d’une part, nous generalisons au cas equivariant un resultat de J. Denef et F. Loeser sur les sommes trigonometriques sur un tore ; d’autre part, nous etudions la stratification de Thom-Boardman associee a la multiplication des sections globales des fibres en droites sur une courbe. Nous montrons une inegalite subtile sur les dimensions de ces strates. Notre motivation vient du programme de Langlands geometrique. En s’appuyant sur les travaux de W. T. Gan, N. Gurevich, D. Jiang et de S. Lysenko, nous proposons, pour le groupe reductif G de type G2, une construction conjecturale du faisceau automorphe dont le parametre d’Arthur est unipotent et sous-regulier. En utilisant nos deux resultats ci-dessus, nous determinons les rangs generiques de toutes les composantes isotypiques d’un faisceau S₃-equivariant qui apparait dans notre conjecture, ce S₃ etant le centralisateur du SL2 sous-regulier dans le groupe dual de Langlands de G.