Des schémas numériques pour la mécanique des fluides compressibles

En proposant une approche complementaire de l’experience et de la modelisation, la simulation numerique est devenue l’un des trois piliers de la recherche scientifique. La mecanique des fluides est l’un des secteurs pionniers dans l’utilisation de ce triptyque et l’obtention de schemas numeriques bien adaptes pour la mecanique des fluides est un sujet qui occupe les numericiens depuis plus de 60 ans. L’une des difficultes est de concilier precision et robustesse avec un cout de calcul raisonnable, et des lors les verrous peuvent etre assez differents selon les applications visees. Ainsi, malgre les tres nombreux travaux et des avancees dans un sujet qui est toujours d’actualite, il est assez naturel de ne pas avoir de technique uniformement efficace dans tous les regimes. L’objectif de cet article n’est donc pas de proposer un schema parfait qui n’existe pas, ni de detailler l’ensemble des tres nombreuses techniques d’une abondante litterature, mais plutot de decrire des choix raisonnablement simples qui sont de bons candidats pour debuter. Il y aura necessairement une certaine subjectivite dans ces choix, neanmoins certaines alternatives et les pistes d’amelioration les plus courantes seront mentionnees. Le lecteur y trouvera un point d’entree qui lui permettra d’avoir une solution programmable au prix d’un effort realiste, capable de realiser des simulations d’ecoulements compressibles dans des configurations standard. Il est d’ailleurs encourage a programmer lui-meme ces methodes pour des maillages 2D non structures. Une partie de leur efficacite residant dans la vitesse des calculs, il est important de les tester pour voir leurs performances, leurs difficultes et comment les optimiser. Ceci dependant en partie du langage de programmation, des machines qui feront les calculs et de la maniere de programmer, rien ne remplace l’experience. De la meme maniere, le lecteur est encourage a approfondir le sujet en fonction des applications qui l’interessent. Un importante litterature est disponible pour proposer diverses solutions a la plupart des problemes qui peuvent se poser en pratique. La recherche est toujours tres active sur le sujet et de nouvelles techniques voient continuellement le jour pour repousser les limites de la simulation numerique. La bibliographie presente ici n’est qu’une fraction infime des travaux dans le domaine. La methodologie adoptee dans ce document sera la suivante. On presentera dans chaque partie les elements de base permettant une bonne mise en place des notions. Ceux-ci seront parfois completes par des remarques, voire de petites pastilles appelees « Pour aller plus loin ». Comme leur nom l’indique, elles abordent des notions complementaires, mais qui ne sont pas necessaires a la comprehension generale. Ces notions sont toutefois importantes a connaitre dans l’absolu. On s’interessera tout d’abord a l’approximation des equations d’Euler, puis on verra des techniques pour prendre en compte les termes de viscosite/diffusion et on dira enfin quelques mots de la prise en compte d’autres termes comme la chimie ou la turbulence.