Modèles numériques personnalisés de la fibrillation auriculaire

Les arythmies auriculaires constituent une pathologie majeure en cardiologie, et leur etude constitue un vaste sujet de recherche. Pour les etudier, de nombreux modeles mathematiques de la propagation du potentiel d'action dans les oreillettes ont ete developpes. La plupart de ces modeles generiques permettent de reproduire des sequences d'activations typiques des oreillettes. De tels modeles peuvent avoir un interet experimental, voir clinique, par exemple dans l'aide a la localisation des foyers arythmiques ou encore dans l'analyse des echecs du traitement de ces arythmies. Neanmoins, pour atteindre ce but, il faut etre capable de recaler au mieux le modele, dans ses dimensions geometriques ou fonctionnelles, sur des donnees individuelles. L'assimilation de donnees, discipline mathematique dans laquelle nous cherchons a combiner de maniere optimale theorie et observations, est alors un bon candidat a la personnalisation des modeles de la propagation du potentiel d'action. Dans cette these, nous proposons d'etudier differentes methodes d'assimilation de donnees -- sequentielles et variationnelles -- dans le but de combiner les modeles de propagation avec des donnees electroanatomiques. Plus precisement, nous nous interessons a deux applications possible de l'assimilation de donnees que sont l'estimation d'etat et l'estimation de parametres. Dans un premier temps, nous etudions un observateur d'etat permettant de corriger la position du front de propagation simule en se basant sur la position du front observe. Cet observateur est alors utilise afin de completer une carte d'activation obtenue lors d'une procedure clinique. Ensuite, ce meme observateur est combine a un filtre de Kalman d'ordre reduit afin d'estimer les parametres de conductivites du modele mathematique de propagation du potentiel d'action. Une etude de la strategie d'estimation liee etat-parametre est ensuite realisee pour voir comment la methode se comporte face aux erreurs de modelisation. La methode est ensuite testee sur un jeu de donnees acquis cliniquement. Puis, nous regardons du cote des methodes d'assimilation de donnees variationnelles qui permettent l'estimation de parametres spatialement distribues. Plusieurs problemes de minimisation, permettant d'estimer un parametre de conductivite distribue dans l'espace, sont alors introduits et analyses. Nous montrons alors que la discretisation de ces problemes de minimisation, dans le but d'obtenir des methodes numeriques de resolution, peut s'averer complexe. Une methode numerique est ensuite mise en place pour un des problemes de minimisation etudie, et trois cas tests unidimensionnels sont analyses.Enfin, nous demontrons l'existence d'un minimum pour une des fonctions objectif etudiees en nous basant sur des resultats d'analyse fonctionnelle de la litterature.