Méthodes d'analyse de Fourier en hydrodynamique : des mascarets aux fluides avec capillarité

Dans la premiere partie de cette these on etudie les systemes abcd qui ont ete derives par J.L. Bona, M. Chen et J.-C. Saut en 2002. Ces systemes sont des modeles approximant le probleme d'ondes hydrodynamiques dans le regime de Boussinesq, a savoir, des vagues de faible amplitude et de grande longueur d'onde. Dans les deux premiers chapitres on considere le probleme d'existence en temps long a savoir la construction de solutions pour les systemes abcd qui ont leur temps d'existence minore par $1/varepsilon$ ou $varepsilon$ est le rapport entre une amplitude typique du vague et la profondeur du canal. Dans un premier temps on considere des donnees initiales appartenant aux espaces de Sobolev qui sont inclus dans l'espace des fonctions continues qui s'annulent a l'infini. D'un point de vue physique cette situatuion correspond a des vagues sont localisees en espace. Le point cle est la construction d'une fonctionnelle non lineaire d'energie qui controle certaines normes de Sobolev sur un intervalle de temps long. Pour y arriver, on travaille avec des equations localisees en frequence. Cette approche nous permet d'obtenir des resultats d'existence en temps long en demandant moins de regularite sur les donnees initiales. Un deuxieme avantage de notre methode est que l'on peut traiter d'une maniere unifiee presque tous les cas correspondant aux differentes valeurs des parametres abcd. Dans le deuxieme chapitre on montre des resultats d'existence en temps long pour le cas des donnees ayant un comportement non trivial a l'infini.Ce type des donnees est relevant pour l'etude de la propagation des mascarets. L'idee qui est a la base de ces resultats est de considerer un decoupage convenable de la donnee initiale en hautes et basses frequences. Dans le troisieme chapitre on emploie des schemas de volumes finis afin de construire des solutions numeriques. On utilise ensuite nos schemas pour etudier l'interaction d'ondes progressives.La deuxieme partie de ce manuscrit est consacree a l'etude des problemes de regularite optimale pour le systeme de Navier-Stokes qui regi l'evolution d'un fluide incompressible, inhomogene et pour le systeme Navier-Stokes-Korteweg utilise pour prendre en compte les effets de capillarite. Plus precisement, on montre que ces systemes sont bien-poses dans leurs espaces critiques, a savoir, les espaces quiont la meme invariance par changement d'echelle que les systemes eux-memes. Pour pouvoir demontrer ce type de resultats on a besoin d'etablir de nouvelles estimations pour un probleme de type Stokes avec des coefficients variables