The mechanics of shuffle products and their siblings

Abstract Nous poursuivons ici le travail commence dans (Enjalbert and Hoang Ngoc Minh, 2012) en decrivant des produits de melanges d’algebres de plus en plus “grandes” de fonctions speciales (issues d’equations differentielles a poles simples). Les etudier nous conduit a definir une classe de produits de melange, que nous nommons φ -shuffles. Nous etudions cette classe d’un point de vue combinatoire, en commencant par etendre (sous conditions) le theoreme de Radford a celle-ci, puis en construisant (toujours sous conditions) sa bigebre. Nous analysons les conditions des resultats precites pour les simplifier en les rendant visible des la definition du produit de melange. Nous testons enfin ces conditions sur les produits introduits en debut d’article. We carry on the investigation initiated in Enjalbert and Hoang Ngoc Minh (2012): we describe new shuffle products coming from some special functions and group them, along with other products encountered in the literature, in larger and larger classes of products, which we name φ -shuffle products. Our paper is dedicated to a study of the latter class, from a combinatorial standpoint. We consider first how to extend Radford’s theorem to the products in that class, then how to construct their bi-algebras. As some conditions are necessary to carry that out, we study them closely and simplify them so that they can be seen directly from the definition of the product. We eventually test these conditions on the products mentioned above.