Noyau et métrique de Bergman dans des formules de représentations pour les convexes de type fini et applications

S. G. Krantz a montre qu'une solution u de l'equation de Cauchy-Riemann pour une donnee f a coefficients bornes appartient a l'espace de Lipschitz $\Lambda^(\frac(1)(2))$ dans les domaines strictement pseudoconvexes. Plus recemment, A. Cumenge d'une part et B. Fischer, J. E. Fornaess, K. Diederich d'autre part ont obtenu dans le cas des domaines convexes de type fini m des estimations en $\Lambda^(\frac(1)(m))$ . Cependant, le resultat de S. G. Krantz dans les domaines strictement pseudoconvexe a ensuite ete ameliore par P. Greiner et E. Stein qui ont obtenu sous les memes hypotheses une solution dans l'espace anisotrope holderien $\Lambda^(\frac(1)(2), 1)$. Ce resultat indique qu'une meilleure regularite de la solution est attendue dans les directions tangentes complexes. Notre travail consiste alors a obtenir les estimations lipschitziennes optimales des solutions de l'equation de Cauchy-Riemann dans un domaine $\Omega$ a frontiere lisse borne et convexe de type fini. Dans la premiere partie de notre travail, nous reprenons la formule de representation integrale construite par A. Cumenge avec des noyaux de type Berndtsson-Andersson ou le poids depend du noyau de Bergman. Elle est ``semi-geometrique'' dans le sens ou le noyau est construit en partie a l'aide du noyau de Bochner-Martinelli qui, bien qu'universel, ne nous permettra pas a priori d'exploiter toute la geometrie du domaine. Dans tous les resultats precites, la donnee $f$ est dans l'espace $L^(\infty)$. C'est ainsi la solution qui porte l'anisotropie induite par la geometrie des strictement pseudoconvexes ou des convexes de type fini. Il nous a semble interessant de donner aussi une approche ou la donnee appartient a un espace anisotrope. Pour cela, nous utilisons la norme $|||f|||_(\kappa)$ qui est definie a l'aide d'une norme de type Kobayashi pour les vecteurs. La solution appartient alors a l'espace de Zygmund isotrope $\Lambda^1(\Omega)$. Pour montrer les techniques usuelles de resolution, et les difficultes d'approche pour les estimations de la partie euclidienne du noyau resolvant, nous donnons aussi un resultat ou la donnee appartient a l'espace des (0,1)-formes $L^(\infty)$. Ce resultat n'est pas optimal et nous l'ameliorons dans la troisieme partie. La seconde partie donne la construction d'un noyau entierement geometrique. Il ne fait plus intervenir que le noyau et la metrique de Bergman et nous pouvons esperer etre donc a meme de l'exploiter pour obtenir les resultats les plus fins. Cette construction est similaire a celle de Berndtsson-Andersson en choisissant comme section une approximation de la metrique de Bergman a l'ordre 2. Ce noyau permet d'obtenir une formule de representation valable pour les (p,q)-formes en general. Le choix du poids permet l'annulation du terme d'integration sur le bord qui apparait dans les formules d'homotopie, ce qui nous donne directement une solution de l'equation de Cauchy-Riemann pour les (p,q)-formes $\overline \partial$ fermee. Dans la troisieme partie, nous donnons un premier resultat qui utilise ce noyau et ameliore le second resultat de la premiere partie. Nous obtenons un resultat optimal : pour une donnee dans $L^(\infty)(\Omega)$, nous montrons que l'equation de Cauchy-Riemann admet une solution dans l'espace de fonction anisotrope $\Gamma_(\rho)^(\frac(1)(m))(\Omega)$ introduit par J. McNeal et E. Stein. C'est un espace de type Lipschitz $\frac(1)(m)$ pour une metrique $\rho$ faisant intervenir la pseudometrique de McNeal, donc refletant la geometrie du domaine. Pour obtenir ce resultat, nous avons du adapter un lemme de type ``Hardy-Littlewood anisotrope'' pour pouvoir estimer directement les termes du noyau ne contenant pas la singularite maximale. Pour le dernier terme, nous avons du introduire une definition directe de $\Gamma_(\rho)^(\frac(1)(m))(\Omega)$ qui necessitait l'introduction d'une approximation de l'unite adapte a la geometrie des convexes de type fini. Nous terminons par une seconde application : nous retrouvons un theoreme de P. Greiner et E. Stein dans les domaines strictement pseudoconvexes. C'est-a-dire que pour une donnee $L^(\infty)(\Omega)$, nous montrons que nous pouvons trouver une solution dans $\Lambda^(\frac(1)(2),1)(\Omega)$. Il est assez naturel de pouvoir y arriver puisque notre solution est construite afin de dominer les aspects geometriques des domaines.