Testing degree corrections in stochastic block models

Nous etudions les seuils optimaux de detection de la correlation en degre dans des modeles par blocs stochastiques dans le cadre du probleme de validite de l’ajustement, et explorons les effets de la non connaissance de l’affectation des communautes (qui est un parametre de nuisance de grande dimension) et la densite du graphe en testant des corrections de degre. Quand les corrections de degre sont assez denses, un test simple base sur le nombre total d’aretes est asymptotiquement optimal. Pour les corrections de degre parcimonieuses, les resultats font apparaitre plusieurs differences dans le comportement, dependant de la densite du modele par blocs stochastiques sous-jacent. Pour les graphes qui ne sont pas extremement parcimonieux, les tests optimaux sont bases sur des tests de haute criticite ou sur des tests du type du degre maximum portant sur une combinaison lineaire de chacun des degres (estimes) des communautes. Dans le cas special des communautes equilibrees un simple test de haute criticite base sur le degre (Mukherjee, Mukherjee, Sen (2021)) est optimal si le graphe n’est pas completement dense, mais une approche plus compliquee basee sur des combinaisons lineaires est necessaire si le graphe n’est pas completement dense. La “necessite” de cette approche en deux etapes est demontree dans le cas des communautes equilibrees par l’echec du test classique du degre maximum a atteindre les constantes optimales. Enfin, pour les graphes extremement parcimonieux, les vitesses optimales changent, et une version du test du degre maximum avec une region de rejet differente est montree etre optimale.