Numerical analysis of second-order Lagrange-Galerkin schemes, application to option pricing problems

En esta tesis se estudia la resolucion numerica de ecuaciones lineales, y no lineales, de tipo conveccion-difusion-reaccion mediante un metodo de Lagrange-Galerkin de orden dos, El estudio ha sido motivado por una aplicacion en finanzas: la valoracion de productos financieros de tipo derivado usando ecuaciones en derivadas parciales. Mas detalladamente, el metodo de Lagrange-Galerkin se introduce usando el formalismo de la mecanica de los medios continuos y formulaciones debiles. Despues, se establecen rigurosamente las propiedades de estabilidad y consistencia (orden dos) del algoritmo. Ademas, se aborda el problema de la cuadratura numerica, proponiendo formulas de cuadratura para elementos finitos de Lagrange, lineales y cuadraticos, que preservan la estabilidad del metodo (como se comprueba mediante un analisis de Fourier). Finalmente, se muestran algunos ejemplos numericos obtenidos mediante un codigo implementado en FORTRAN, que ilustran y completan nuestro analisis. Con respecto a la aplicacion en finanzas, se realiza una introduccion a la modelizacion en finanzas en el marco de Black-Scholes, centrandonos en un tipo particular de opciones financieras: las opciones asiaticas, para las que se deducen algunas propiedades originales y se formula el problema matematico de valoracion de las mismas. En el caso de las opciones asiaticas de tipo europeo, se realiza la resolucion numerica del problema de valoracion empleando los metodos de Lagrange-Galerkin analizados, atendiendo a las particularidades del problema concreto (por ejemplo, se optimiza la estructura algebraica del algoritmo). En el caso de las opciones asiaticas de tipo americano, su resolucion numerica combina un algoritmo iterativo con los metodos de Lagrange-Galerkin. Mas precisamente, se han comparado dos algoritmos basados en la formulacion mixta del problema: el algoritmo de Bermudez-Moreno y un algoritmo de conjunto activ