Applications of graded geometry in gauge theory and gravity

Ovaj rad posvecen je proucavanju fizickih problema u baždarnoj teoriji i gravitaciji, koristeci matematicke metode gradirane geometrije. Glavna prednost tog pristupa je u tome sto se može koristiti za opisivanje tenzorskih polja mjesovite simetrije i bilo kojeg tipa na vrlo opcenit i univerzalan nacin. Kao takav, idealan je za iskoristavanje slicnosti i formalnih analogija između baždarnih teorija i gravitacije, kao i za stavljanje potonjih u ravnopravni položaj, te za njihovo usporedno proucavanje. U poglavlju 2 uvodimo neke osnovne pojmove u gradiranoj geometriji s fokusom na Z2-gradiranu ili supergeometriju. Pokazujemo kako se tenzorska polja mjesovite simetrije i proizvoljnog tipa na glatkoj mnogostrukosti M mogu opisati na alternativan nacin, pomocu posebnih izomorfizama između mnogostrukosti M i gradirane (super) mnogostrukosti M. Zatim definiramo diferencijalni racun i teoriju integracije na toj gradiranoj mnogostrukosti. Konacno, koristeci upravo definirane osnovne alate gradirane geometrije, konstruiramo baždarno invarijantne lagranžijane za fizicke teorije u bilo kojem broju prostorno vremenskih dimenzija, ukljucujuci baždarna polja u proizvoljnoj reprezentaciji opce linearne grupe tenzorom mjesovite simetrije. Tu spadaju kineticki, maseni i galilejevski interakcijski clanovi. Nasi rezultati pokazuju da svi ti lagranžijani imaju isti, jednostavni, geometrijski oblik, bez obzira na vrstu baždarnog polja. Kao dodatni rezultat nase analize, također dobivamo snažne dokaze koji potkrepljuju tvrdnju da se baždarno invarijantne i lokalne galilejevske interakcije ne mogu konstruirati za baždarna polja viseg spina. U poglavljima 3 & 4 donosimo pregled Hodgeovih dualnosti prisutnih u dvjema temeljnima teorijama prirode, elektromagnetizmu i opcoj relativnosti u njezinom lineariziranom limesu. U oba slucaja dajemo prikaz koncepta dualnosti od razine jednadžbe polja do implementacije dualnosti kroz roditeljski (engl. parent) lagranžijan prvog reda. Povrh toga, opsirno raspravljamo o ucincima induciranim topoloskim clanom u tim Hodgeovim dualnostima. U slucaju elektromagnetizma, za ovaj clan uzima se standardni ϑ-clan koji je formiran kao skalarni produkt elektricnog i magnetskog polja. Za lineariziranu gravitaciju, uzimamo u obzir gravitacijski analog tog topoloskog clana, formiran kao skalarni produkt gravitoelektricnog (njutnovskog) i gravitomagnetskog polja. Oba ova topoloska clana postoje samo u cetiri prostornovremenske dimenzije, a to su dimenzije s kojima radimo u ovim poglavljima. Sto se tice samih Hodgeovih dualnosti, klasificiramo ih koristeci standardnu terminologiju koja se pojavljuje u literaturi. Posebni slucajevi ukljucuju elektricno-magnetsku, egzoticnu i dvostruku dualnost. I elektricno-magnetska i egzoticna dualnost Maxwellovog polja opisane su u poglavlju 3, dok se poglavlje 4 bavi elektricno-magnetskim i dvostrukim dualnostima lineariziranog gravitona. U tim poglavljima također se usredotocujemo na identificiranje analogija i slicnosti postupaka dualizacije i regulirajucih formula između elektromagnetizma i linearizirane gravitacije. A posteriori, nasi rezultati vode na zakljucak da bi se ove dvije naizgled razlicite analize mogle provesti na opcenitiji nacin. Ovaj zakljucak vodi do razmatranja u poglavlju 5, gdje predstavljamo opceniti gradirani geometrijski roditeljski lagranžijan koji ukljucuje sve tipove Hodgeovih dualnosti koje ukljucuju bilo koje tenzorsko baždarno polje mijesane simetrije tipa (p, 1). To se postiže uvođenjem dva parametra u lagranžijan, koji mogu poprimiti vrijednosti u cetiri određene domene. Svaka od tih domena odgovara drugoj vrsti Hodgeovih dualnosti i, kao takav, roditeljski lagranžijan ima unificirajucu prirodu. Tehnicki, ove su izjave formulirane kroz dva teorema, a oba dokazujemo rigorozno. Nasi se konacni rezultati podudaraju s onima iz prethodnih poglavlja za određene vrijednosti dvaju parametara, obuhvacaju sve poznate rezultate u literaturi i, nadalje, protežu se na prije toga nepoznate slucajeve. U poglavlju 6 dalje poopcujemo nasu analizu kako bismo ukljucili dualnost između teorija koje ukljucuju vise baždarnih polja, u samodualnim dimenzijama. Polazeci od primjera vise skalarnih polja u dvije dimenzije, izvodimo postupak dualizacije i dobivamo poznata Buscherova pravila. Ona odgovaraju transformacijama pozadinskih polja generiranih s T-dualnoscu u okviru teorije struna. Kao nastavak, provodimo isti postupak za slucaj vise Abelovih 1-formi (Maxwellova polja) u cetiri dimenzije i dobivamo odgovarajuca "visa" Buscherova pravila za pozadinska polja. Motivirani vezom T-dualnosti i sigma modela za strune, također komentiramo nelinearni sigma model za potonji slucaj Maxwellovih polja. Koristeci poopccenje univerzalnog roditeljskog lagranžijana predstavljenu u poglavlju 5, također razrađujemo slucaj vise lineariziranih gravitona u cetiri dimenzije. Nasi rezultati ukazuju da postoje samo dvije vrste pravila transformacija. Za baždarna polja koja su diferencijalne p-forme i za bipartitne tenzore tipa (p, 1) nalazimo da je osnovna grupa dualnosti ortogonalna grupa O(d, d; R) za parne p i simplekticka grupa Sp(2d; R) za neparne p. Konacno, poglavlje 7 posveceno je gravitacijskom ϑ-clanu, koji je analiziran u prethodnim poglavljima. Uvodimo ovaj clan u okviru gravitoelektromagnetizma, alternativnog (ekvivalentnog) opisa linearizirane gravitacije. Koristeci pseudoskalarno pozadinsko polje ϑ(x) kao njegovu konstantu vezanja, ϑ-clan je tada topoloski clan, kvadratican u parcijalnim derivacijama lineariziranog gravitona. Koristeci to jednostavno zapažanje, pokazujemo da opca relativnost ne može opisati nelinearnu verziju tog clana; umjesto toga, povezan je s topoloskom invarijantom, kvadraticnom u torzijskoj 2-formi. Kao takav, može se opisati alternativnim teorijama nelinearne gravitacije koje se temelje na koneksijama s torzijom. Ovo poglavlje zakljucujemo predstavljanjem dvaju jednostavnih primjera koji ilustriraju ucinak ϑ-clana u fizickim situacijama. U prvom primjeru opisujemo kako Newtonov zakon poprima relativisticku korekciju zbog raspodjela neiscezavajucih ϑ u prostoru. U drugom primjeru predstavljamo gravitacijski analogWittenovog efekta, koji kaže da cisto gravitomagnetski naboj (gravitipole) poprima masu i postaje gravitacijski dion, kada je postavljen u podrucje prostora s neiscezavajucom ϑ(x). Disertaciju zavrsavamo zakljuckom.