Promenade dans les cartes de villes, phénoménologie mathématique et physique des villes : une approche géométrique

Nous nous interessons a la phenomenologie des villes en nous limitant a la geometrie induite par le squelette de leur reseau des rues. C'est une etude a volonte synthetique, fonctionnelle et interdisciplinaire qui vient s'ajouter aux travaux qui ont ete menes a grande cadence depuis le debut du XXeme siecle par les urbanistes, sociologues, geographes, statiticiens, physiciens. Nous cherchons a montrer que la rue, en tant qu'alignement coherent de segments de rues peut etre consideree comme structure elementaire de la ville. Quelle quantite d'information est donnee par la geometrie du reseau routier ? Dans quelle mesure contraint-il nos echanges ? Comment le paysage urbain actuel est-il determine par son evolution le long d'axes de circulation et d'elements structurants ? Nous presentons un cadre mathematique permettant de considerer la carte d'une ville comme un continuum geometrique defini par la topologie d'un graphe planaire. Nous superposons a ce graphe une structure d'hypergraphe pour manipuler aisement la notion d'axes ainsi qu'une representation multi-echelles de la ville. En depit d'une grande diversite apparente de formes, nous montrons que le reseau de rues d'une ville se soumet a un certain nombre de lois generales qui laissent des traces sur le plan de la ville. Nous proposons des modeles de croissance et de morphogenese de la ville, implementant l'idee que l'evolution de la ville suit une logique d'extension / division structuree de l'espace et reproduisant les signatures observees sur les plans de villes reelles. La comprehension des mecanismes regulateurs de la ville nous permet de proposer des algorithmes fonctionnels dont le temps de calcul est tres interessant. Ainsi nous presentons un algorithme reconstituant les rues a partir de segments de rues ; la notion de centralite simple dont le calcul sur une carte permet une analyse hierarchique de celle-ci, met en valeur les axes de transport principaux et en evidence les zones mal desservies ; un algorithme permettant d'approximer rapidement le plus court chemin entre deux points aleatoires ; un alogorithme prenant appui sur le Spectral Clustering pour produire des segmentations morphologiques de cartes et retravaillons l'identification de modeles de mosaiques aleatoires pour les substituer a un reseau urbain particulier dans la resolution par equivalents statistiques de grands problemes d'optimisation.