Mehrgitterverfahren für die kompressiblen Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen mit besonderer Betrachtung des schwach kompressiblen Falles

Fur viele technische Probleme ist die Simulation kompressibler Stromungen kleiner Machzahl von Bedeutung. Typische Beispiele sind Detonationsprozesse und aeroakustische Phanomene. Zur Untersuchung der Schallemission einer Windturbine konnen die zugrunde liegenden schwach kompressiblen Stromungen mit einem geeigneten numerischen Werkzeug simuliert werden. Die Akustik hat einen direkten Einfluss auf die Stromung, sodass das Verfahren beide physikalische Phanomene gekoppelt behandeln muss. Bei der Entstehung von Schall in einer Stromung treten diese auf sehr unterschiedlichen Skalen auf. Fur die Stromung sind in der Regel kleinskalige Strukturen dominant, dagegen spielen bei der akustischen Schallausbreitung grose Distanzen und Wellenlangen eine dominierende Rolle. Charakterisierend fur die Skalenunterschiede ist die Machzahl, die das Verhaltnis der Stromungs- zur Schallausbreitungsgeschwindigkeit angibt. Bei aeroakustisch relevanten Simulationen treten Machzahlen bis etwa 1e-6 auf. Es bedarf somit eines numerischen Simulationswerkzeuges zur Losung der kompressiblen Stromungsgleichungen, das sowohl bei kleinen als auch bei grosen Machzahlen genau und effizient ist. Es gibt eine Vielzahl von Losungen fur das inkompressible Regime und ebenso viele grundlegend andere Ansatze fur stark kompressible Stromungen. Inkompressible Losungsverfahren werden in der Regel angewendet, wenn die Machzahl im zu untersuchenden Gebiet kleiner als etwa Ma=0.3 ist. Das physikalische Modell fur inkompressible Stromungen berucksichtigt jedoch keine kompressiblen Effekte. Umgekehrt haben kompressible Standardmethoden grose Schwierigkeiten bei der Losung im schwach kompressiblen Regime. In dieser Arbeit wird ein neuartiges Diskretisierungsschema vorgestellt, das die Berechnung schwach kompressibler Stromungen zulasst, gleichzeitig aber auch in der Lage ist, Schocks und andere kompressible Effekte korrekt wiederzugeben. Zudem ist es moglich, sowohl reibungsfreie (Euler-Gleichungen) als auch reibungsbehaftete (Navier-Stokes-Gleichungen) Stromungen zu simulieren. Zur Simulation von schwach kompressiblen Stromungen wird der Mehrskalenansatz von Klein und Munz eingesetzt, der auf einer asymptotischen Analyse der Stromungsgleichungen basiert. Das mathematische Modell der Euler-Gleichungen ist ein System hyperbolischer nichtlinearer Gleichungen, die Gleichungen des inkompressiblen Grenzfalles sind jedoch vom hyperbolisch-elliptischen Typ. Ziel ist die Entwicklung eines einheitlichen Softwarecodes fur die inkompressiblen, schwach kompressiblen und kompressiblen Gleichungen sowie fur reibungsbehaftete und reibungslose Stromungen. Die Implementierung erfolgt dabei unter Verwendung des Softwaretools UG, das standardisierte Werkzeuge fur numerische Verfahren basierend auf unstrukturierten Gittern in zwei und drei Raumdimensionen bereitstellt. Zudem unterstutzt UG die Parallelisierung und die Verwendung von lokal adaptiv verfeinerten Gittern. Das aus der Diskretisierung entstehende Gleichungssystem wird mit einem linearen Mehrgitterverfahren gelost. Obwohl ein Grosteil der Konvergenztheorie nur bei Anwendung auf elliptische Differentialgleichungen Gultigkeit hat, erweisen sich Mehrgitterverfahren in der Praxis fur eine weitaus grosere Klasse von Problemstellungen als effizient. Die ersten Mehrgitterverfahren zur Losung der kompressiblen Euler-Gleichungen wurden von Jameson, Dick und Hemker vorgestellt. Wahrend diese auf der Verwendung von Standard-Komponenten auf strukturierten Gittern basieren, fuhrt Mulder zur Verbesserung der Glattungseigenschaft die Semicoarsening-Strategie ein, die von Oosterlee zu einem algebraischen Mehritterverfahren verfeinert wurde. Die erfolgreiche Anwendung von stromab numerierten unvollstandigen Zerlegungen als robuste Glattungsverfahren auf unstrukturierten Gittern demonstriert Haag. Weitere Arbeiten auf unstrukturierten, adaptiv verfeinerten Gittern in drei Raumdimensionen haben vor allem Mavriplis und seine Arbeitsgruppe vorgelegt. Fur den inkompressiblen Grenzfall sind die Arbeiten von Raw, Oosterlee und Turek zu nennen. Grundlegend fur die vorliegende Arbeit sind die Untersuchungen von Rentz-Reichert zur Konstruktion geeigneter Glatter fur die inkompressiblen Stokes- und Navier-Stokes-Gleichungen. In der Arbeitsgruppe von Wittum wurden Mehrgitterverfahren fur inkompressible turbulente Stromungen analysiert, die bei Huurdeman auf k-e-Modellen und bei Nagele auf Large-Eddy-Simulationen basieren. Einen stark vereinfachten Ansatz fur inkompressible Stromungen kleiner Machzahl verwendet Paxion zur Simulation laminarer Flammen. Fur das schwach kompressible Regime liegen zwar eine Reihe unterschiedlicher Diskretisierungen vor, zur Losung der resultierenden Systeme werden jedoch lediglich einfache Krylovraumverfahren wie CGS oder GMRES verwendet. Diese Lucke soll nun in der vorliegenden Arbeit geschlossen werden.