Features of the nonlinear fourier transform for the dNLS equation

Zusammenfassung Im ersten Teil dieser Arbeit erweitern wir die bekannte Spektraltheorie des Zakharov-Shabat Opera- i 0 0 ϕ− tors L(ϕ) = 0 −i ∂x + ϕ+ 0 , definiert auf dem Intervall [0, 1], fur komplexwertige, 1-periodische Potentiale ϕ = (ϕ− , ϕ+ ), die als Elemente des Fourier Lebesgue Raums F Lp , 1 p 2 aus. Diesen Variablen dienen im Anschluss als Grundlage fur die Konstruktion reell analytischer Birkhoff Koordinaten auf F Lp . Im zweiten Teil dieser Arbeit leiten wir, unter Verwendung der Birkhoff Koordinaten, eine neue Formel fur die dNLS Frequenzen her, welche es erlaubt die Frequenzen analytisch auf F Lp , p > 2, fortzusetzen und ihr asymptotisches Verhalten prazise zu beschreiben. Ebenfalls leiten wir eine neue Formel fur den dNLS Hamiltonian her, die im Anschluss dazu verwendet wird, den Hamilto- nian nach geeigneter Renormalisierung reell analytisch auf F L4 zu erweitern. Wird der renormal- r isierte Hamiltonian in Wirkungsvariablen I = (In )n∈Z ausgedruckt, so definiert er eine Funktion, 2 die reell analytisch und strikt konkav in einer Umgebung von 0 im positiven Quadranten + (Z) 2 von (Z) ist. Abschliessend verwenden wir unsere Ergebnisse zu den Frequenzen, um das An- fangswertproblem von dNLS in Birkhoff Koordinaten zu studieren. Im letzten Teil dieser Arbeit untersuchen wir die Birkhoff Abbildung in Sobolev Raumen hoher Regularitat. Wir beweisen gleichmassige “tame” Abschatzungen aller ganzzahliger Sobolev Normen 2 ϕ m, m 1, in Bezug auf gewichtete -Normen der Birkhoff Koordinaten und umgekehrt. Abstract In the first part of this thesis we extend the well-known spectral theory of the Zakharov-Shabat i 0 0 ϕ− operator L(ϕ) = 0 −i ∂x + ϕ+ 0 , acting on the interval [0, 1], to the case where the potential ϕ = (ϕ− , ϕ+ ) is a complex, 1-periodic element of the Fourier Lebesgue space F Lp , 1 p 2, which, in turn, are used to construct real analytic Birkhoff coordinates on F Lp . In the second part of this thesis we derive, using the Birkhoff coordinates, a novel formula for the dNLS frequencies which allows to extend them analytically to F Lp , p > 2, and to characterize their asymptotic behavior. Similarly, we derive a formula for the dNLS Hamiltonian which is used to extend this Hamiltonian, after appropriate renormalization, real analytically to F L4 . When ex- r pressed in action variables I = (In )n∈Z , this renormalized Hamiltonian defines a function which is 2 2 real analytic and strictly concave in a neighborhood of 0 in the positive quadrant + (Z) of (Z). Finally, we use our previously obtained results on the frequencies to study the initial value problem of dNLS in Birkhoff coordinates. In the final part of this thesis we investigate the Birkhoff map in Sobolev spaces of high regularity. We prove uniform tame estimates of all integer Sobolev norms ϕ m, m 1, in terms of weighted 2 -norms of the Birkhoff coordinates and vice versa.