Invariantes de singularidades en característica positiva

Invariantes de singularidades en caracteristica positiva Angelica Benito Sualdea Director: Orlando E. Villamayor Uriburu Resumen: La presente tesis doctoral aborda uno de los problemas centrales de la geometria algebraica: el problema de resolucion de singularidades, es decir, dada una variedad algebraica X, decidir si existe una variedad X1 junto con un morfismo birracional y propio . En la memoria se trata el caso de caracteristica positiva (problema que sigue abierto desde principios del siglo XX), en ella se introducen nuevos invariantes de la singularidad siguiendo la linea iniciada en [Vi] y [BrVi]. En la primera parte de la tesis se estudia a fondo el marco de trabajo desarrollado por Villamayor en [Vi], dando lugar a la demostracion de que cierto invariante de la singularidad (el invariante tau de Hironaka) tiene un buen comportamiento con eliminacion, este resultado se recoge en [Be]. La segunda parte de la tesis se dedica a definir y estudiar nuevos invariantes propios de la singularidad en caracteristica positiva. Las tecnicas desarrolladas en esta memoria son la base de las ideas tratadas en [BeVi1], donde se demuestra resolucion de singularidades si ciertas condiciones numericas se satisfacen (caso fuertemente monomial). Otra aplicacion de las ideas de la tesis y de [BeVi1] se encuentra en [BeVi2], donde se demuestra resolucion de singularidades en el caso de superficies. Los anteriores resultados se pueden generalizar a situaciones mas generales (como resolucion de cualquier esquema de dimension 2) usando los resultados expuestos en [BeVi3]. Bibliografia: [Be] A. Benito, The ?-invariant and elimination, J. Algebra, 324 (2010), 1903 - 1920. [BeVi1] A. Benito, O. E. Villamayor U., Techniques for the study of singularities with applications to resolution of 2-dimensional schemes, Math. Ann. 353 (2012), no. 3, 1037 - 1068. [BeVi2] A. Benito, O. E. Villamayor U., Monoidal transforms and invariants of singularities in positive characteristic. Aceptado para su publicacion en Compositio Mathematica. [BeVi3] A. Benito, O. E. Villamayor U., On elimination of variables in the study of singularities in positive characteristic. Preprint 2011. Disponible en: http://arxiv.org/abs/1103.3462 [BrVi] A. Bravo, O. E. Villamayor U., Singularities in positive characteristic, stratification and simplification of the singular locus, Adv. Math., 224 (4) (2010) 1349 - 1418. [Vi] O. E. Villamayor U., Hypersurface singularities in positive characteristic, Adv. Math. 213 (2007), no. 2, 687 - 733.