Solutions of the pentagon equation from quantum (super)groups

In this thesis we present the applications of quantum group representation theoretical methods to two dimensional non-rational conformal field theory and Teichmuller theory. We recall the notion of Hopf algebra and the notions of the Heisenberg and Drinfeld doubles. We use the representation theoretical methods to obtain the pentagon equation solutions from the representation theory of U_q(sl(2)), a quantum plane and the Heisenberg double of a quantum plane, what are known from literature results, however they have high pedagogical value from the point of possible generalisations. We generalise the results to the Z_2-graded case, where we obtain the solutions of the pentagon equation using the representation theory of U_q(osp(1|2)) and the Heisenberg double of quantum superplane. In dieser Dissertation prasentieren wir die Anwendung von den Reprasentationen der Quantengruppen auf der Konforme Feldtheorie aus einem zweidimensionalen Raum und der Teichmuller-Theorie. Wir erinnern uns an die Definitionen des Drinfeld-Doppels und des Heisenberg-Doppels. Wir benutzen die Reprasentationstheorie der Quantengruppen zu den Losungen der Pentagon Gleichung aus der U_q(sl(2)), der Quantenebene und dem Heisenberg-Doppel aus der Quantenebene erhalten. Das ist aus der Literatur bekannt, aber das hat den padagogisch Wert wann man die Generalisierung prasentiert. Wir verallgemeinern diese Ergebnisse und studieren den Z_2-graduierter Fall. Wir erhalten die Losungen der Pentagon Gleichung aus der U_q(osp(1|2)), der Quantensuperebene und dem Heisenberg-Doppel aus der Quantensuperebene.