Méthodes itératives pour la résolution d'équations matricielles

Nous nous interessons dans cette these, a l’etude des methodes iteratives pour la resolutiond’equations matricielles de grande taille : Lyapunov, Sylvester, Riccati et Riccatinon symetrique.L’objectif est de chercher des methodes iteratives plus efficaces et plus rapides pour resoudreles equations matricielles de grande taille. Nous proposons des methodes iterativesde type projection sur des sous espaces de Krylov par blocs Km(A, V ) = Image{V,AV, . . . ,Am−1V }, ou des sous espaces de Krylov etendus par blocs Kem(A, V ) = Image{V,A−1V,AV,A−2V,A2V, · · · ,Am−1V,A−m+1V } . Ces methodes sont generalement plus efficaces et rapides pour les problemes de grande dimension. Nous avons traite d'abord la resolution numerique des equations matricielles lineaires : Lyapunov, Sylvester, Stein. Nous avons propose une nouvelle methode iterative basee sur la minimisation de residu MR et la projection sur des sous espaces de Krylov etendus par blocs Kem(A, V ). L'algorithme d'Arnoldi etendu par blocs permet de donner un probleme de minimisation projete de petite taille. Le probleme de minimisation de taille reduit est resolu par differentes methodes directes ou iteratives. Nous avons presente ainsi la methode de minimisation de residu basee sur l'approche global a la place de l'approche bloc. Nous projetons sur des sous espaces de Krylov etendus Global Kem(A, V ) = sev{V,A−1V,AV,A−2V,A2V, · · · ,Am−1V,A−m+1V }. Nous nous sommes interesses en deuxieme lieu a des equations matricielles non lineaires, et tout particulierement l'equation matricielle de Riccati dans le cas continu et dans le cas non symetrique appliquee dans les problemes de transport. Nous avons utilise la methode de Newtown et l'algorithme MINRES pour resoudre le probleme de minimisation projete. Enfin, nous avons propose deux nouvelles methodes iteratives pour resoudre les equations de Riccati non symetriques de grande taille : la premiere basee sur l'algorithme d'Arnoldi etendu par bloc et la condition d'orthogonalite de Galerkin, la deuxieme est de type Newton-Krylov, basee sur la methode de Newton et la resolution d'une equation de Sylvester de grande taille par une methode de type Krylov par blocs. Pour toutes ces methodes, les approximations sont donnees sous la forme factorisee, ce qui nous permet d'economiser la place memoire en programmation. Nous avons donne des exemples numeriques qui montrent bien l'efficacite des methodes proposees dans le cas de grandes tailles.